Question

在平面直角坐标系中，点A（0，4），B（m，0）在坐标轴上，点C，O关于直线AB对称，点D在线段AB上．

（1）如图1，若m＝8，求AB的长；

（2）如图2，若m＝4，连接OD，在y轴上取一点E，使OD＝DE，求证：CE＝DE；

（3）如图3，若m＝4，在射线AO上裁取AF，使AF＝BD，当CD+CF的值最小时，请在图中画出点D的位置，并直接写出这个最小值．

Answer

（1）AB＝4；（2）见解析；（3）CD+CF的最小值为4.

【解析】

（1）根据勾股定理可求AB的长；

（2）过点D作DF⊥AO，根据等腰三角形的性质可得OF＝EF，根据轴对称的性质等腰直角三角形的性质可得AF＝DF，设OF＝EF＝x，AE＝4﹣2x，根据勾股定理用参数x表示

DE，CE的长，即可证CE＝DE；

（3）过点B作BM⊥OB，在BM上截取BM＝AO，过点C作CN⊥BM，交MB的延长线于点N，根据锐角三角函数可得∠ABO＝30°，根据轴对称的性质可得AC＝AO＝4，BO＝BC＝4，∠ABO＝∠ABC＝30°，∠OAB＝∠CAB＝60°，根据“SAS”可证△ACF≌△BMD，可得CF＝DM，则当点D在CM上时，CF+CD的值最小，根据直角三角形的性质可求CN，BN的长，根据勾股定理可求CM的长，即可得CF+CD的最小值．

（1）∵点A（0，4），B（m，0），且m＝8，

∴AO＝4，BO＝8，

在Rt△ABO中，AB＝

（2）如图，过点D作DF⊥AO，

∵DE＝DO，DF⊥AO，

∴EF＝FO，

∵m＝4，

∴AO＝BO＝4，

∴∠ABO＝∠OAB＝45°，

∵点C，O关于直线AB对称，

∴∠CAB＝∠CBA＝45°，AO＝AC＝OB＝BC＝4，

∴∠CAO＝∠CBO＝90°，

∵DF⊥AO，∠BAO＝45°，

∴∠DAF＝∠ADF＝45°，

∴AF＝DF，

设OF＝EF＝x，AE＝4﹣2x，

∴AF＝DF＝4﹣x，

在Rt△DEF中，DE＝

在Rt△ACE中，CE＝

∴CE＝DE，

（3）如图，过点B作BM⊥OB，在BM上截取BM＝AO，过点C作CN⊥BM，交MB的延长线于点N，

∵m＝4，

∴OB＝4，

∴tan∠ABO＝，

∴∠ABO＝30°

∵点C，O关于直线AB对称，

∴AC＝AO＝4，BO＝BC＝4，∠ABO＝∠ABC＝30°，∠OAB＝∠CAB＝60°，

∴∠CAF＝120°，∠CBO＝60°

∵BM⊥OB，∠ABO＝30°，

∴∠ABM＝120°，

∴∠CAF＝∠ABM，且DB＝AF，BM＝AO＝AC＝4，

∴△ACF≌△BMD（SAS）

∴CF＝DM，

∵CF+CD＝CD+DM，

∴当点D在CM上时，CF+CD的值最小，

即CF+CD的最小值为CM的长，

∵∠CBO＝60°，BM⊥OB，

∴∠CBN＝30°，且BM⊥OB，BC＝4，

∴CN＝2，BN＝CN＝6，

∴MN＝BM+BN＝4+6＝10，

在Rt△CMN中，CM＝，

∴CD+CF的最小值为.