Question

如图，∠AOD=150°，∠AOB=20°，∠COD=40°，把∠AOB绕O点以每秒5°的速度顺时针方向旋转，同时∠COD绕O点以每秒4°的速度逆时针方向旋转．设旋转后的两个角分别记为∠A₁OB₁、∠C₁OD₁，旋转时间为t秒（0≤t≤26）．

（1）当t=1秒时，∠B₁OC₁=______°；

（2）若射线OB₁与OC₁重合时，求t的值；

（3）若射线OB₁恰好平分∠C₁OD₁时，求t的值；

（4）在整个旋转过程中，有______秒∠B₁OC₁小于或等于10°？（直接写出结论）

Answer

（1）81°;（2）10秒;（3）秒;（4）

【解析】

（1）根据题意可知∠B1OC1=90°-（4°+5°）t，代入t的值即可求解；

（2）该情况相当于行程问题中的相遇问题，射线OB1与OC1重合时，∠AOB与∠COD旋转的角度之和等于90°，得方程4t+5t=90，解方程即可；

（3）∠COD=40°，当射线OB1恰好平分∠C1OD1时，也就是两个角旋转重合部分为∠COD=20°，所以得方程4t+5t=90+∠COD，解方程即可；

（4）求两个临界点的时间差即可，即∠B1OC1=10°时的时间t，OB1与OC1重合前4t+5t=90-10，OB1与OC1重合后4t+5t=90+10，两个时间差之内，∠B1OC1小于或等于10°．

【解析】
（1）由题意知∠B1OC1=90°-（4°+5°）t，

当t=1时，∠B1OC1=90°-9°=81°

故答案为81°．

（2）当射线OB1与OC1重合时，得方程

4t+5t=90

解得t=10

故旋转时间为10秒时，射线OB1与OC1重合．

（3）当射线OB1恰好平分∠C1OD1时，即∠A1OB1、∠C1OD1两个角重合部分为∠C1OD1

得方程4t+5t=90+∠COD

即9t=110

t=

故时间t为秒时，射线OB1恰好平分∠C1OD1

（4）当∠B1OC1=10°时，分OB1与OC1重合前与OB1与OC1重合后两个时刻，即

①OB1与OC1重合前，∠B1OC1=10°，则4t1+5t1=90-10

得t1=

②OB1与OC1重合后，∠B1OC1=10°，则4t2+5t2=90+10

得t2=

在旋转过程中，当t1≤t≤t2时，∠B1OC1≤10°，即-=

故整个旋转过程中，有秒∠B1OC1小于或等于10°．