Question

如图，直线MN与直线PQ相交于点O，点A在直线PQ上运动，点B在直线MN上运动．

（1）如图1，若∠AOB＝80°，AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的理由；若不发生变化，试求出∠AEB的度数；

（2）如图2，若∠AOB＝90°，点D、C分别是∠PAB和∠ABM的角平分线上的两点，AD、BC交于点F．∠ADC和∠BCD的角平分线相交于点E，

①点AB在运动的过程中，∠F的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的理由；若不发生变化，请求其度数．

②点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的理由；若不发生变化，请求其度数．

Answer

（1）∠AEB的大小不会发生变化，为130°，见解析；（2）①∠F的大小不变，为45°，见解析；②∠CED的大小不会发生变化，为67.5°，见解析．

【解析】

（1）因为AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，可得∠EAB＝∠OAB，∠EBA＝∠OBA，因为∠AOB＝80°，在△OAB中，可求得∠OAB+∠OBA，即可得出∠EAB+∠EBA，在△EAB中，用三角形内角和等于180°，即可得出∠AEB的大小；

（2）①因为点D、C分别是∠PAB和∠ABM的角平分线上的两点，所以∠FAB＝∠PAB＝（180°﹣∠OAB），∠FBA＝∠MBA＝（180°﹣∠OBA），可得∠FAB+∠FBA＝90°+∠AOB，在△ABF中，可得∠F＝90°﹣∠AOB，因为∠AOB＝90°，即可得出∠F的度数；

②由①，同理可得∠E＝90°﹣∠F，即可得出∠CED的度数．

【解析】
（1）∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，

∴∠EAB＝∠OAB，∠EBA＝∠OBA，

∵∠AOB＝80°，

∴∠OAB+∠OBA＝180°﹣80°＝100°，

∴∠EAB+∠EBA＝（∠OBA+∠OAB）＝÷100°＝50°，

∴∠AEB＝180°﹣（∠EAB+∠EBA）＝130°，

即∠AEB的大小不会发生变化，为130°；

（2）①∵点D、C分别是∠PAB和∠ABM的角平分线上的两点，

∴∠FAB＝∠PAB＝（180°﹣∠OAB），∠FBA＝∠MBA＝（180°﹣∠OBA），

∴∠FAB+∠FBA＝（180°﹣∠OAB）+（180°﹣∠OBA）＝（180°+∠AOB）＝90°+∠AOB，

∵∠AOB＝90°，

∴∠F＝180°﹣（∠FAB+∠FBA）＝90°﹣∠AOB＝45°，

即∠F的大小不变，为45°；

②∵∠ADC和∠BCD的角平分线相交于点E，

同理可得，∠E＝90°﹣∠F＝67.5°，

即∠CED的大小不会发生变化，为67.5°．