Question

如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB=2，DE=1，BD=8，设CD=x．

（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；

（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小；

（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式的最小值．

Answer

（1）；（2）A、C、E三点共线；（3）13.

【解析】

（1）由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故AC，CE可由勾股定理求得；

（2）若点C不在AE的连线上，根据三角形中任意两边之和＞第三边知，AC+CE＞AE，故当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小；

（3）由（1）（2）的结果可作BD=12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，连接AE交BD于点C，则AE的长即为代数式的最小值，然后构造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性质可求得AE的值．

【解析】
（1）设CD=x，则BC=8-x，

∵AC=，CE=，

∴AC+CE=+；

（2）由两点之间线段最短可知，当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小；

（3）如右图所示

作BD=12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，连接AE交BD于点C，设BC=x，则AE的长即为代数的最小值．

过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，

则AB=DF=2，AF=BD=12，EF=ED+DF=3+2=5，

所以AE===13，

即的最小值为13．