Question

如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴的正半轴交于点A，与x轴交于点，的面积为动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度在射线BO上运动，动点Q从O出发，沿x轴的正半轴与点P同时以相同的速度运动，过P作轴交直线AB于M．

求直线AB的解析式．

当点P在线段OB上运动时，设的面积为S，点P运动的时间为t秒，求S与t的函数关系式直接写出自变量的取值范围．

过点Q作轴交直线AB于N，在运动过程中不与B重合，是否存在某一时刻秒，使是等腰三角形？若存在，求出时间t值．

Answer

(1)y＝x+2；(2)S＝t(0＜t≤2)；(3)存在，t＝2或2﹣2．

【解析】

（1）S△ABO=×OA×OB=×AO×2=2，则OA=2，即点A（0，2），即可求解；

（2）t秒时，点P的坐标为（-2+t，0），则MP=BP=t，S=×PQ×MP，即可求解；

（3）分MN=MQ、MN=NQ、MQ=NQ三种情况，求解即可．

(1)S△ABO＝×OA×OB＝×AO×2＝2，则OA＝2，即点A(0，2)，

将点A、B的坐标代入一次函数表达式：y＝km+n，得：，

解得：，

故直线AB的表达式为：y＝x+2；

(2)t秒时，点P的坐标为(﹣2+t，0)，则MP＝BP＝t，

S＝×PQ×MP＝×2t＝t(0＜t≤2)；

(3)存在，理由：

t秒时，点M、N、Q的坐标分别为(﹣2+t，t)、(t，t+2)、(t，0)，

则：MN2＝4+4＝8，MQ2＝4+t2，NQ2＝(t+2)2，

当MN＝MQ时，即：8＝4+t2，t＝2(负值已舍去)，

当MN＝NQ时，同理可得：t＝2﹣2(负值已舍去)，

当MQ＝NQ时，同理可得：t＝0(舍去)，

故：当△MNQ是等腰三角形时，t＝2或2﹣2．