Question

如图，已知A（3，0），B（0，﹣1），连接AB，过B点作AB的垂线段BC，使BA＝BC，连接AC．

（1）如图1，求C点坐标；

（2）如图2，若P点从A点出发沿x轴向左平移，连接BP，作等腰直角△BPQ，连接CQ，当点P在线段OA上，求证：PA＝CQ；

（3）在（2）的条件下若C、P，Q三点共线，求此时∠APB的度数及P点坐标．

Answer

（1）C（1，-4）．（2）证明见解析；（3）∠APB=135°，P（1，0）．

【解析】

（1）作CH⊥y轴于H，证明△ABO≌△BCH，根据全等三角形的性质得到BH=OA=3，CH=OB=1，求出OH，得到C点坐标；

（2）证明△PBA≌△QBC，根据全等三角形的性质得到PA=CQ；

（3）根据C、P，Q三点共线，得到∠BQC=135°，根据全等三角形的性质得到∠BPA=∠BQC=135°，根据等腰三角形的性质求出OP，得到P点坐标．

（1）作CH⊥y轴于H，

则∠BCH+∠CBH=90°，

∵AB⊥BC，

∴∠ABO+∠CBH=90°，

∴∠ABO=∠BCH，

在△ABO和△BCH中，

，

∴△ABO≌△BCH，

∴BH=OA=3，CH=OB=1，

∴OH=OB+BH=4，

∴C点坐标为（1，﹣4）；

（2）∵∠PBQ=∠ABC=90°，

∴∠PBQ﹣∠ABQ=∠ABC﹣∠ABQ，即∠PBA=∠QBC，

在△PBA和△QBC中，

，

∴△PBA≌△QBC，

∴PA=CQ；

（3）∵△BPQ是等腰直角三角形，

∴∠BQP=45°，

当C、P，Q三点共线时，∠BQC=135°，

由（2）可知，△PBA≌△QBC，

∴∠BPA=∠BQC=135°，

∴∠OPB=45°，

∴OP=OB=1，

∴P点坐标为（1，0）．