Question

如图，在△ABC中，点D在BC上，AB＝AC＝BD，AD＝DC，将△ACD沿AD折叠至△AED，AE交BC于点F．

（1）求∠C的度数；

（2）求证：BF＝CD．

Answer

（1）∠C＝36°；（2）见解析.

【解析】

（1）由题意可得∠B＝∠C，∠BAD＝∠BDA，∠C＝∠DAC，根据三角形外角的性质∠BAD＝∠ADB＝2∠C，根据三角形内角和定理可求∠C的度数；

（2）由折叠的性质可得∠DAC＝∠DAE＝36°，即可求∠B＝∠C＝∠BAE＝∠DAC＝36°，可证△ABF≌△ACD，可得BF＝CD．

（1）∵AB＝AC＝BD，

∴∠B＝∠C，∠BAD＝∠BDA，

∵AD＝CD，

∴∠C＝∠DAC，

∵∠ADB＝∠C+∠DAC，

∴∠BAD＝∠ADB＝2∠C，

∵∠B+∠ADB+∠BAD＝180°，

∴∠C+2∠C+2∠C＝180°，

∴∠C＝36°；

（2）∵∠C＝∠DAC＝∠B，

∴∠DAC＝∠B＝36°，

∴∠BAD＝∠BDA＝72°，

∵折叠，

∴∠DAC＝∠DAE＝36°，

∴∠BAE＝36°，

∴∠B＝∠C＝∠BAE＝∠DAC＝36°，且AB＝AC，

∴△ABF≌△ACD（SAS）

∴BF＝CD