Question

如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，过点B作BD⊥AB，过点C作CD⊥BC，两线相交于点D，AF平分∠BAC交BC于点E，交BD于点F．

（1）若∠BAC＝68°，求∠DBC；

（2）求证：点F为BD中点；

（3）若AC＝BD，且CD＝3，求四边形ABDC的面积．

Answer

（1）∠DBC＝34°；（2）见解析；（3）四边形ABDC的面积＝27．

【解析】

（1）根据等腰三角形的性质得到AE⊥BC，∠BAE＝∠BAC＝34°，根据余角的性质得到结论；

（2）根据平行线等分线段定理即可得到结论；

（3）根据全等三角形的性质得到BE＝CD＝3，求得BC＝6，根据全等三角形的性质即可得到结论．

（1）∵AB＝AC，AF平分∠BAC，

∴AE⊥BC，∠BAE＝∠BAC＝34°，

∵BD⊥AB，

∴∠AEB＝∠ABF＝90°，

∴∠DBC＝∠BAE＝34°；

（2）∵CD⊥BC，AE⊥BC，

∴EF∥CD，

∵BE＝CE，

∴BF＝DF，

∴点F为BD中点；

（3）∵AC＝BD，AB＝AC，

∴AB＝BD，

在△ABE与△BCD中，，

∴△ABE≌△BCD（AAS），

∴BE＝CD＝3，

∴BC＝6，

∴四边形ABDC的面积＝3S△BCD＝3××3×6＝27．