Question

已知一元二次方程x²+（2m+1）x+m²﹣1＝0．

（1）若方程有两个不相等的实数根，试求m的取值范围；

（2）若抛物线y＝x²+（2m+1）x+m²﹣1与直线y＝x+m没有交点，试求m的取值范围；

（3）求证：不论m取何值，抛物线y＝x²+（2m+1）x+m²﹣1图象的顶点都在一条定直线上．

Answer

（1）m＞﹣．（2）m＜﹣1．（3）详见解析．

【解析】

（1）根据方程的系数结合根的判别式△＞0，可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；

（2）将一次函数解析式代入二次函数解析式中整理后可得出关于x的一元二次方程，由抛物线与直线无交点，可得出根的判别式△＜0，进而可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；

（3）利用二次函数的性质可得出抛物线的顶点坐标，设x＝﹣m﹣，y＝﹣m﹣，则m＝﹣x﹣，将m＝﹣x﹣代入y中即可得出结论．

【解析】
（1）∵一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根，

∴△＝（2m+1）2﹣4（m2﹣1）＞0，

解得：m＞﹣．

（2）将y＝x+m代入y＝x2+（2m+1）x+m2﹣1，得：x+m＝x2+（2m+1）x+m2﹣1，

整理，得：x2+2mx+m2﹣m﹣1＝0．

∵抛物线y＝x2+（2m+1）x+m2﹣1与直线y＝x+m没有交点，

∴△＝（2m）2﹣4（m2﹣m﹣1）＜0，

解得：m＜﹣1．

（3）证明：∵抛物线解析式为y＝x2+（2m+1）x+m2﹣1，

∴a＝1，b＝2m+1，c＝m2﹣1，

∴抛物线的顶点坐标为（﹣，），即（﹣m﹣，﹣m﹣）．

设x＝﹣m﹣，y＝﹣m﹣，则m＝﹣x﹣，

∴y＝﹣m﹣＝x+﹣＝x﹣．

∴不论m取何值，抛物线y＝x2+（2m+1）x+m2﹣1图象的顶点都在一条定直线y＝x﹣上．