Question

“垃圾分一分，明天美十分”.环保部门计划订制一批垃圾分类宣传海报，海报版面不小于300平方米，当宣传海报的版面为300平方米时，价格为80元/平方米.为了支持垃圾分类促进环保，广告公司给予以下优惠：宣传海报版面每增加1平方米，每平方米的价格减少0.2元，但不能低于50元/平方米.假设宣传海报的版面增加平方米后，总费用为元.

（1）求关于的函数表达式；

（2）订制宣传海报的版面为多少平方米时总费用最高？最高费用为多少元？

（3）环保部门希望总费用尽可能低，那么应该订制多少平方米的海报？

Answer

（1） ；（2）订制宣传海报350平方米时总费用最高，最高为24500元；（3）应该订制450平方米的海报.

【解析】

（1）根据题意可以写出y关于x的函数表达式；
（2）根据（1）中的函数解析式和x的取值范围，可以解答本题；
（3）根据题意和x的取值范围可以求得应该订制多少平方米的海报，可以使得环保部门总费用尽可能低．

【解析】
（1）由题意可得，

,

即y关于x的函数表达式为y=−x2+20x+24000；

（2）∵

∴

∴

∵

此时

∴订制宣传海报350平方米时总费用最高，最高为24500元.

（3））∵y=−x2+20x+24000=−(x−50)2+24500，0≤x≤150，

∵时，随增大而增大，

时，随增大而减小

∴当时最小, 此时y=22500，x+300=450，

∴应该订制450平方米的海报.