Question

一个四边形被一条对角线分割成两个三角形，如果分割所得的两个三角形相似，我们就把这条对角线称为相似对角线.

（1）如图，正方形的边长为4，为的中点，点，分别在边和上，且，线段与交于点，求证：为四边形的相似对角线；

（2）在四边形中，是四边形的相似对角线，，，，求的长；

（3）如图，已知四边形是圆的内接四边形，，，，点是的中点，点是射线上的动点，若是四边形的相似对角线，请直接写出线段的长度（写出3个即可）.

Answer

（1）详见解析；（2）或3；（3）详见解析.

【解析】

（1）只要证明△EAF∽△FEG即可解决问题；
（2）如图3中，作DE⊥BA交BA的延长线于E．设AE=a．在Rt△BDE中，利用勾股定理构建方程求出a，分两种情形构建方程求解即可；
（3）①当△AFE∽△EFC时，连接BC，AC，BD．②当△AFE∽△FEC时，作CH⊥AD交AD的延长线于H，作OM⊥AD于M，连接OA．③当△AFE∽△CEF时，分别求解即可，注意答案不唯一．

【解析】
（1）如图1，∵正方形中，，为中点

∴，∵，∴

∴

∴，

∵，∴四边形为平行四边形

∴，∴，

∴

∴为四边形的相似对角线.

（2）如图2，过点作，垂足为，设

∵，∴，∴

∵，

∴

（负根已经舍弃），

∴

分为两种情况：

①如图3，当时，

∴，∴

②如图4，当时，

∴，∴

综上，或3

（3）①如图5，∵∠FEC=∠A=90°，∠BEF=∠BEC+∠FEC=∠A+∠AEF，

∴，，∴，∴

由“一线三等角”得.

②如图，当△AFE∽△FEC时，作CH⊥AD交AD的延长线于H，作OM⊥AD于M，连接OA．

∵△AFE∽△FEC，
∴∠AFE=∠FEC，
∴AD∥EC，
∴∠CEB=∠DAB=90°，
∵∠OMA=∠AHC=90°，
∴四边形AEOM，四边形AECH都是矩形，
∵OM⊥AD，
∴AM=MD=3，
∴AM=OE=3，
∵OE⊥AB，
∴AE=EB=4，
∴OA==5，
∴CE=AH=8，设AF=x，则FH=8-x，CH=AE=4，
由△AEF∽△HFC，可得= ，
∴，
解得x=4，
经检验x=4是分式方程的解，
∴AF=4．

③如图当△AFE∽△CEF时易证四边形AECF是矩形，AF=EC=8．

综上所述，满足条件的AF的长为或4或8．（答案不唯一）