Question

抛物线y＝x²+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，﹣3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，M（m，0）是x轴上一动点，N是线段EF上一点，若∠MNC＝90°，请指出实数m的变化范围，并说明理由．

（3）如图2，将抛物线平移，使其顶点E与原点O重合，直线y＝kx+2（k＞0）与抛物线相交于点P、Q（点P在左边），过点P作x轴平行线交抛物线于点H，当k发生改变时，请说明直线QH过定点，并求定点坐标．

Answer

（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）；（3）当k发生改变时，直线QH过定点，定点坐标为（0，﹣2）

【解析】

（1）把点A（﹣1，0），C（0，﹣3）代入抛物线表达式求得b，c，即可得出抛物线的解析式；

（2）作CH⊥EF于H，设N的坐标为（1，n），证明Rt△NCH∽△MNF，可得m＝n2+3n+1，因为﹣4≤n≤0，即可得出m的取值范围；

（3）设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则点H（﹣x1，y1），设直线HQ表达式为y＝ax+t，用待定系数法和韦达定理可求得a＝x2﹣x1，t＝﹣2，即可得出直线QH过定点（0，﹣2）．

【解析】
（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A、C，

把点A（﹣1，0），C（0，﹣3）代入，得：，

解得，

∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；

（2）如图，作CH⊥EF于H，

∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，

∴抛物线的顶点坐标E（1，﹣4），

设N的坐标为（1，n），﹣4≤n≤0

∵∠MNC＝90°，

∴∠CNH+∠MNF＝90°，

又∵∠CNH+∠NCH＝90°，

∴∠NCH＝∠MNF，

又∵∠NHC＝∠MFN＝90°，

∴Rt△NCH∽△MNF，

∴，即

解得：m＝n2+3n+1＝，

∴当时，m最小值为；

当n＝﹣4时，m有最大值，m的最大值＝16﹣12+1＝5．

∴m的取值范围是．

（3）设点P（x1，y1），Q（x2，y2），

∵过点P作x轴平行线交抛物线于点H，

∴H（﹣x1，y1），

∵y＝kx+2，y＝x2，

消去y得，x2﹣kx﹣2＝0，

x1+x2＝k，x1x2＝﹣2，

设直线HQ表达式为y＝ax+t，

将点Q（x2，y2），H（﹣x1，y1）代入，得，

∴y2﹣y1＝a（x1+x2），即k（x2﹣x1）＝ka，

∴a＝x2﹣x1，

∵＝（ x2﹣x1）x2+t，

∴t＝﹣2，

∴直线HQ表达式为y＝（ x2﹣x1）x﹣2，

∴当k发生改变时，直线QH过定点，定点坐标为（0，﹣2）．