Question

小儒在学习了定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”之后做了如下思考：

（1）他认为该定理有逆定理，即“如果一个三角形某条边上的中线等于该边长的一半，那么这个三角形是直角三角形”应该成立，你能帮小儒证明一下吗？如图①，在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AD＝BD＝CD，求证：∠BAC＝90°．

（2）接下来，小儒又遇到一个问题：如图②，已知矩形ABCD，如果在矩形外存在一点E，使得AE⊥CE，求证：BE⊥DE，请你作出证明，可以直接用到第（1）问的结论．

（3）在第（2）问的条件下，如果△AED恰好是等边三角形，直接用等式表示出此时矩形的两条邻边AB与BC的数量关系．

Answer

（1）见解析；（2）见解析；（3）BC＝AB，理由见解析

【解析】

（1）利用等腰三角形的性质和三角形内角和即可得出结论；

（2）先判断出OEAC，即可得出OEBD，即可得出结论；

（3）先判断出△ABE是底角是30°的等腰三角形，即可构造直角三角形即可得出结论．

【解析】
（1）∵AD＝BD，

∴∠B＝∠BAD，

∵AD＝CD，

∴∠C＝∠CAD，

在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC＝180°，

∴∠B+∠C+∠BAD+∠CAD＝∠B+∠C+∠B+∠C＝180°

∴∠B+∠C＝90°，

∴∠BAC＝90°，

（2）如图②，连接AC，BD，OE，

∵四边形ABCD是矩形，

∴OA＝OB＝OC＝ODACBD，

∵AE⊥CE，

∴∠AEC＝90°，

∴OEAC，

∴OEBD，

∴∠BED＝90°，

∴BE⊥DE；

（3）如图3，∵四边形ABCD是矩形，

∴AD＝BC，∠BAD＝90°，

∵△ADE是等边三角形，

∴AE＝AD＝BC，∠DAE＝∠AED＝60°，

由（2）知，∠BED＝90°，

∴∠BAE＝∠BEA＝30°，

过点B作BF⊥AE于F，

∴AE＝2AF，在Rt△ABF中，∠BAE＝30°，

∴AB＝2BF，AF＝BF，

∴AE＝2BF，

∴AE＝AB，

∴BC＝AB．