Question

如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，交直线于点C，点D与点B关于x轴对称，连接AD交直线于点E．

填空：______．

求直线AD的解析式；

在x轴上存在一点P，则的和最小为______；直接填空即可

当时，点Q为y轴上的一个动点，使得为等腰直角三角形，求点Q的坐标．

Answer

（1）12；（2）；（3）；（4）点Q的坐标为或或．

【解析】

分别计算A、B、D三点的坐标，可得OA和BD的长，根据三角形面积公式可得结论；

利用待定系数法可得直线AD的解析式；

根据轴对称的最短路径先确认P的位置：连接BE交x轴于P，此时，最小，即是BE的长，利用勾股定理可计算BE的长，最后将其配方后，根据二次函数的最值可得结论；

存在三种情况：分别以Q、E、C三个顶点为直角顶点，画图可得Q的坐标．

如图1，直线交x轴于点A，交y轴于点B，

令，，

，

令，，

，

，

点D与点B关于x轴对称，

，

，

故答案为：12；

如图1，设直线AD的解析式为，由知，，，

，

，

直线AD的解析式为；

如图2，由知，直线AD的解析式为，

直线CE：，

，

点D与点B关于x轴对称，

连接BE交x轴于P，

此时，最小，最小值为BE，

，

的最小值是，

则的和最小为；

故答案为：；

，

∽，

，

设，，

为等腰直角三角形时，存在以下三种情况：

当E为直角顶点时，如图3，

，

则，，

，

；

当C为直角顶点时，如图3，同理得；

当Q为直角顶点时，如图4，

此时Q与O重合，

综上，点Q的坐标为或或．