Question

如图，在边长为2的等边三角形ABC中，以B为圆心，AB为半径作，在扇形BAC内作⊙O与AB、BC、都相切，则⊙O的周长等于（　　）

A.  B.  C.  D. π

Answer

C

【解析】

连接OB并延长与交于点E，设AB与圆的切点为D，连接OD，由三角形ABC为等边三角形得到BA＝BC，且∠ABC＝60°，再由以B为圆心，AB为半径作，得到BE＝BA＝BC＝2，根据对称性得到∠ABE＝30°，由AB与圆O相切，利用切线的性质得到OD垂直于AB，在直角三角形BOD中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半得到OD等于OB的一半，设OD＝OE＝x，可得出OB＝2x，由BO+OE＝BE＝2，列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为圆O的半径，即可求出圆O的周长．

【解析】
连接OB并延长与交于点E，设AB与圆的切点为D，连接OD，

∵△ABC为等边三角形，以B为圆心，AB为半径作，

∴∠ABC＝60°，BA＝BC＝BE＝2，

由对称性得到：∠ABE＝30°，

∵AB为⊙O的切线，

∴OD⊥AB，

在Rt△BOD中，∠ABE＝30°，设OD＝OE＝x，

可得OB＝2x，

∴OB+OE＝BE，

即2x+x＝2，

解得：x＝，

即⊙O的半径为，

∴⊙O的周长为：＝π．

故选：C．