Question

如图，△ABC中，下面说法正确的个数是（　　）个．

①若O是△ABC的外心，∠A＝50°，则∠BOC＝100°；

②若O是△ABC的内心，∠A＝50°，则∠BOC＝115°；

③若BC＝6，AB+AC＝10，则△ABC的面积的最大值是12；

④△ABC的面积是12，周长是16，则其内切圆的半径是1．

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer

C

【解析】

根据圆周角定理直接求出的度数即可；

利用内心的定义得出进而求出即可；

研究三角形面积最大值的问题，由于已知三边的和，故可以借助海伦公式建立面积关于边的函数，再利用基本不等式求最值；

根据内心到三角形三边距离相等得出内切圆半径乘以周长等于面积，即可得出答案．

【解析】
若O是的外心，，则，根据圆周角定理直接得出即可，故此选项正确；

若O是的内心，，则，故此选项正确；

若，，则的面积的最大值是12；

由题意，三角形的周长是16，由令，则，

由海伦公式可得三角形的面积

，

等号仅当即时成立，

故三角形的面积的最大值是12，故此选项正确；

的面积是12，周长是16，设内切圆半径为x，则，

解得：，

则其内切圆的半径是1，此选项错误．

故正确的有共3个．

故选：C．