Question

在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD与边长为2的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上．

（1）小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由．

（2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长．

（3）如图3，小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，线段DG与线段BE将相交，交点为H，写出△GHE与△BHD面积之和的最大值，并简要说明理由．

Answer

（1）理由见解析；（2）；（3）6

【解析】

（1）由四边形ABCD与四边形AEFG为正方形，利用正方形的性质得到两对边相等，且夹角相等，利用SAS得到三角形ADG与三角形ABE全等，利用全等三角形对应角相等得∠AGD＝∠AEB，如图1所示，延长EB交DG于点H，利用等角的余角相等得到∠DHE＝90°，利用垂直的定义即可得DG⊥BE；

（2）由四边形ABCD与四边形AEFG为正方形，利用正方形的性质得到两对边相等，且夹角相等，利用SAS得到三角形ADG与三角形ABE全等，利用全等三角形对应边相等得到DG＝BE，如图2，过点A作AM⊥DG交DG于点M，∠AMD＝∠AMG＝90°，在直角三角形AMD中，求出AM的长，即为DM的长，根据勾股定理求出GM的长，进而确定出DG的长，即为BE的长；

（3）△GHE和△BHD面积之和的最大值为6，理由为：对于△EGH，点H在以EG为直径的圆上，即当点H与点A重合时，△EGH的高最大；对于△BDH，点H在以BD为直径的圆上，即当点H与点A重合时，△BDH的高最大，即可确定出面积的最大值．

【解析】
（1）∵四边形ABCD和四边形AEFG都为正方形，

∴AD＝AB，∠DAG＝∠BAE＝90°，AG＝AE，

∴△ADG≌△ABE（SAS），

∴∠AGD＝∠AEB，

如图所示，延长EB交DG于点H，

在△ADG中，

∵∠AGD+∠ADG＝90°，

∴∠AEB+∠ADG＝90°，

∴∠DHE＝90°，

∴DG⊥BE；

（2）∵四边形ABCD和四边形AEFG都为正方形，

∴AD＝AB，∠DAB＝∠GAE＝90°，AG＝AE，

∴∠DAB+∠BAG＝∠GAE+∠BAG，即∠DAG＝∠BAE，

∴△ADG≌△ABE（SAS），

∴DG＝BE，

如图所示，过点A作AM⊥DG交DG于点M，∠AMD＝∠AMG＝90°，

∵BD为正方形ABCD的对角线，

∴∠MDA＝45°，

在Rt△AMD中，∠MDA＝45°，

∴cos45°＝，

∵AD＝2，

∴DM＝AM＝，

在Rt△AMG中，根据勾股定理得：GM＝，

∵DG＝DM+GM＝+，

∴BE＝DG＝+；

（3）△GHE和△BHD面积之和的最大值为6，理由为：

对于△EGH，点H在以EG为直径的圆上，

∴当点H与点A重合时，△EGH的高最大；

对于△BDH，点H在以BD为直径的圆上，

∴当点H与点A重合时，△BDH的高最大，

则△GHE和△BHD面积之和的最大值为2+4＝6．