Question

已知点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，线段OB的长是方程x²﹣2x﹣8=0的解，tan∠BAO=．

（1）求点A的坐标；

（2）点E在y轴负半轴上，直线EC⊥AB，交线段AB于点C，交x轴于点D，S_△DOE=16．若反比例函数y=的图象经过点C，求k的值；

（3）在（2）条件下，点M是DO中点，点N，P，Q在直线BD或y轴上，是否存在点P，使四边形MNPQ是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）（-8，0）（2）k=- （3）（﹣1，3）或（0，2）或（0，6）或（2，6）

【解析】

（1）解方程求出OB的长，解直角三角形求出OA即可解决问题；
（2）求出直线DE、AB的解析式，构建方程组求出点C坐标即可；
（3）分四种情形分别求解即可解决问题；

（1）∵线段OB的长是方程x2﹣2x﹣8=0的解，

∴OB=4，

在Rt△AOB中，tan∠BAO=，

∴OA=8，

∴A（﹣8，0）．

（2）∵EC⊥AB，

∴∠ACD=∠AOB=∠DOE=90°，

∴∠OAB+∠ADC=90°，∠DEO+∠ODE=90°，

∵∠ADC=∠ODE，

∴∠OAB=∠DEO，

∴△AOB∽△EOD，

∴，

∴OE：OD=OA：OB=2，设OD=m，则OE=2m，

∵•m•2m=16，

∴m=4或﹣4（舍弃），

∴D（﹣4，0），E（0，﹣8），

∴直线DE的解析式为y=﹣2x﹣8，

∵A（﹣8，0），B（0，4），

∴直线AB的解析式为y=x+4，

由 ，解得 ，

∴C（，），

∵若反比例函数y=的图象经过点C，

∴k=﹣．

（3）如图1中，当四边形MNPQ是矩形时，∵OD=OB=4，

∴∠OBD=∠ODB=45°，

∴∠PNB=∠ONM=45°，

∴OM=DM=ON=2，

∴BN=2，PB=PN=，

∴P（﹣1，3）．

如图2中，当四边形MNPQ是矩形时（点N与原点重合），易证△DMQ是等腰直角三角形，OP=MQ=DM=2，P（0，2）；

如图3中，当四边形MNPQ是矩形时，设PM交BD于R，易知R（﹣1，3），可得P（0，6）

如图4中，当四边形MNPQ是矩形时，设PM交y轴于R，易知PR=MR，可得P（2，6）．

综上所述，满足条件的点P坐标为（﹣1，3）或（0，2）或（0，6）或（2，6）；