Question

如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点F，E分别以相同的速度从D，C两点同时出发向C和B运动（任何一个点到达即停止），过点P作PM∥CD交BC于M点，PN∥BC交CD于N点，连接MN，在运动过程中，则下列结论：①△ABE≌△BCF；②AE=BF；③AE⊥BF；④CF²=PE•BF；⑤线段MN的最小值为．其中正确的结论有（　　）

A. 2个    B. 3个    C. 4个    D. 5个

Answer

D

【解析】试题如图，

∵动点F，E的速度相同，

∴DF＝CE，

又∵CD＝BC，

∴CF＝BE，

在△ABE和△BCF中，

，

∴△ABE≌△BCF（SAS），故①正确；

∴∠BAE＝∠CBF，AE＝BF，故②正确；

∵∠BAE＋∠BEA＝90°，

∴∠CBF＋∠BEA＝90°，

∴∠APB＝90°，故③正确；

在△BPE和△BCF中，

∵∠BPE＝∠BCF，∠PBE＝∠CBF，

∴△BPE∽△BCF，

∴，

∴CF•BE＝PE•BF，

∵CF＝BE，

∴CF2＝PE•BF，故④正确；

∵点P在运动中保持∠APB＝90°，

∴点P的路径是一段以AB为直径的弧，

设AB的中点为G，连接CG交弧于点P，此时CP的长度最小，

在Rt△BCG中，CG＝＝＝，

∵PG＝AB＝，

∴CP＝CG﹣PG＝﹣＝，

即线段CP的最小值为，故⑤正确；

综上可知正确的有5个，

故选D．