Question

如图，四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC＝90°，AB＝BC，E是AB的中点，CE⊥BD．

（1）求证：BE＝AD；

（2）求证：AC是线段ED的垂直平分线；

（3）△DBC是等腰三角形吗？并说明理由．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）△DBC是等腰三角形，证明见解析.

【解析】

（1）利用已知条件证明△DAB≌△EBC（ASA），根据全等三角形的对应边相等即可得到AD＝BE；

（2）分别证明AD＝AE，CE＝CE，根据线段垂直平分线的逆定理即可解答；

（3）△DBC是等腰三角形，由△DAB≌△EBC，得到DB＝EC，又有△AEC≌△ADC，得到EC＝DC，所以DB＝DC，即可解答．

【解析】
（1）∵∠ABC＝90°，

∴∠ABD+∠DBC＝90°，

∵CE⊥BD，

∴∠BCE+∠DBC＝90°，

∴∠ABD＝∠BCE，

∵AD∥BC，

∴∠DAB＝∠EBC，

在△DAB和△EBC中，

,

∴△DAB≌△EBC（ASA）

∴AD＝BE

（2）∵E是AB的中点，即AE＝BE，

∵BE＝AD，

∴AE＝AD，

∴点A在ED的垂直平分线上（到角两边相等的点在角的平分线上），

∵AB＝BC，∠ABC＝90°，

∴∠BAC＝∠BCA＝45°，

∵∠BAD＝90°，

∴∠BAC＝∠DAC＝45°，

在△EAC和△DAC中，

，

∴△EAC≌△DAC（SAS）

∴CE＝CD，

∴点C在ED的垂直平分线上

∴AC是线段ED的垂直平分线．

（3）△DBC是等腰三角形

∵△DAB≌△EBC，

∴DB＝EC

∵△AEC≌△ADC，

∴EC＝DC，

∴DB＝DC，

∴△DBC是等腰三角形．