Question

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D是AB边的中点，P是BC边上一动点（点P不与B、C重合），若以D、C、P为顶点的三角形与△ABC相似，则线段PC=______．

Answer

4或

【解析】

由Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D是AB边的中点，即可求得AB与CD的值，又由以D、C、P为顶点的三角形与△ABC相似，可得∠DPC=90°或∠CDP=90°，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求得PC的值．

∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，

∴AB=10，

∵D是AB边的中点，

∴CD=BD=AB=5，

∵以D、C、P为顶点的三角形与△ABC相似，

∴∠DPC=90°或∠CDP=90°，

(1)若∠DPC=90°，则DP∥AC，

∴，

∴BP=BC=4，

则PC=4；

(2)若∠CDP=90°，则△CDP∽△BCA，

∴，

即，

∴PC=，

∴PC=4或．