Question

已知y是关于x的函数，如果能在其函数图象上能找到横坐标与纵坐标相同的一个点P（t，t），则称点P为函数图象上的“郡点”．例如：直线y=2x-1上存在“郡点”P（1，1）．

（1）直线y=3x-4的郡点是______；双曲线y=上的郡点是______．

（2）若抛物线y=x²+5x-5上有“郡点”，且“郡点”A、B（点A，B可重合）的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），求x₁²+x₂²的值．

Answer

（1）（2，2）;（1，1）和（-1，-1）；（2）26

【解析】

(1)由“郡点”的定义可求解；

(2)由“郡点”的定义可得x1=x12+5x1-5，x2=x22+5x2-5，由根与系数关系可求x12+x22的值．

(1)把x=y代入直线y=3x-4，可得x=2=y，

∴直线y=3x-4的郡点是(2，2)，

把x=y代入双曲线y=，可得x1=1，x2=-1，

∴双曲线y=上的郡点是(1，1)，(-1，-1)，

故答案为：(2，2)，(1，1)，(-1，-1)；

(2)∵抛物线y=x2+5x-5上有“郡点”A(x1，y1)，B(x2，y2)，

可得x1=x12+5x1-5，x2=x22+5x2-5，

因此，x1，x2可看作是方程x=x2+5x-5的两个实数根，

由韦达定理得：x1+x2=-4，x1•x2=-5，

∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=26.