Question

如图1，点C在线段AB上，（点C不与A、B重合），分别以AC、BC为边在AB同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE、BD交于点P．

（观察猜想）

①AE与BD的数量关系是　   　；

②∠APD的度数为　   　．

（数学思考）

如图2，当点C在线段AB外时，（1）中的结论①、②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明；

（拓展应用）

如图3，点E为四边形ABCD内一点，且满足∠AED＝∠BEC＝90°，AE＝DE，BE＝CE，对角线AC、BD交于点P，AC＝10，则四边形ABCD的面积为　   　．

Answer

【观察猜想】：①AE＝BD．②∠APD＝60°．理由见解析；【数学思考】：结论仍然成立，证明见解析；【拓展应用】：50.

【解析】

观察猜想：证明△ACE≌△DCB（SAS），可得AE＝BD，∠CAO＝∠ODP，由∠AOC＝∠DOP，推出∠DPO＝∠ACO＝60°；

数学思考：结论成立，证明方法类似；

拓展应用：证明AC⊥BD，可得S四边形ABCD＝•AC•DP+•AC•PB＝•AC•（DP+PB）＝•AC•BD．

观察猜想：结论：AE＝BD．∠APD＝60°．

理由：设AE交CD于点O．

∵△ADC，△ECB都是等边三角形，

∴CA＝CD，∠ACD＝∠ECB＝60°，CE＝CB，

∴∠ACE＝∠DCB，

∴△ACE≌△DCB（SAS），

∴AE＝BD，∠CAO＝∠ODP，

∵∠AOC＝∠DOP，

∴∠DPO＝∠ACO＝60°，

即∠APD＝60°．

故答案为AE＝BD，60°．

数学思考：结论仍然成立．

理由：设AC交BD于点O．

∵△ADC，△ECB都是等边三角形，

∴CA＝CD，∠ACD＝∠ECB＝60°，CE＝CB，

∴∠ACE＝∠DCB

∴△ACE≌△DCB（SAS），

∴AE＝BD，∠PAO＝∠ODC，

∵∠AOP＝∠DOC，

∴∠APO＝∠DCO＝60°，

即∠APD＝60°．

拓展应用：

设AC交BE于点O．

∵△ADE，△ECB都是等腰直角三角形，

∴ED＝EA，∠AED＝∠BEC＝90°，CE＝EB，

∴∠AEC＝∠DEB

∴△AEC≌△DEB（SAS），

∴AC＝BD＝10，∠PBO＝∠OCE，

∵∠BOP＝∠EOC，

∴∠BPO＝∠CEO＝90°，

∴AC⊥BD，

∴S四边形ABCD＝•AC•DP+•AC•PB＝•AC•（DP+PB）＝•AC•BD＝50．

故答案为：50．