Question

如图，在平面直角坐标系中，已知点M的坐标为(0，2)，以M为圆心，以4为半径的圆与x轴相交于点B、C，与y轴正半轴相交于点A过A作AE∥BC，点D为弦BC上一点，AE＝BD，连接AD，EC．

(1)求B、C两点的坐标；

(2)求证：AD＝CE；

(3)若点P是弧BAC上一动点(P点与A、B点不重合)，过点P的⊙M的切线PG交x轴于点G，若△BPG为直角三角形，试求出所有符合条件的点P的坐标．

Answer

(1)点B的坐标为(﹣2，0)，点C的坐标为(2，0)；(2)证明见解析；(3)所有符合条件的点P的坐标是(﹣4，2)，(4，2)，(﹣2，4)，(2，4)．

【解析】

(1)根据勾股定理可以求得OB和OC的长度，从而可以得到B、C两点的坐标；

(2)根据平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质可以证明结论成立；

(3)根据题意，画出相应的图形，然后利用分类讨论的方法可以得到点P的坐标．

【解析】
(1)连接MB、MC，如图一所示，

∵点M的坐标为(0，2)，以M为圆心，以4为半径的圆与x轴相交于点B、C，

∴MB＝MC＝4，OM＝2，

∵∠MOB＝∠MOC＝90°，

∴OB＝，

∴OC＝2，

∴点B的坐标为(﹣2，0)，点C的坐标为(2，0)；

(2)证明：作AF∥EC交x轴于点F，如图一所示，

∵AE∥BC，

∴四边形AFCE是平行四边形，

∴AE＝FC，AF＝EC，

∵AE＝BD，

∴BD＝CF，

又∵OB＝OC，

∴OD＝OF，

在△AOD和△AOF中，

，

∴△AOD≌△AOF(SAS)，

∴AD＝AF，

∴AD＝EC，

即AD＝CE；

(3)当△BP1G是直角三角形时，如图二所示，

∵MA＝MP1＝4，点M的坐标为(0，2)，

∴点P1的坐标为(﹣4，2)；

当△BP2G是直角三角形时，如图二所示，

∵MA＝MP2＝4，点M的坐标为(0，2)，

∴点P2的坐标为(4，2)；

当△BP3G是直角三角形时，如图三所示，

∵OB＝2，OM＝2，

∴tan∠MBO＝ ，

∴∠MBO＝30°，

∴∠MBP3＝60°，

∵BM＝MP3，

∴△BMP3是等边三角形，

∴BP3＝4，

∴点P3的坐标为(﹣2，4)；

当△BP4G是直角三角形时，如图三所示，

∵BP4＝8，∠P4BG＝30°时，

∴点P4的纵坐标是：8×sin30°＝8×＝4，横坐标是：﹣2+8×cos30°＝﹣2+8×＝﹣2+4＝2，

∴点P4的坐标为(2，4)；

由上可得，若△BPG为直角三角形，所有符合条件的点P的坐标是(﹣4，2)，(4，2)，(﹣2，4)，(2，4)．