Question

如图，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y＝﹣x²+mx+n与x轴的另一个交点为A，顶点为P．

(1)求3m+n的值；

(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使以C，P，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

(3)将该抛物线在x轴上方的部分沿x轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴下方的部分组成一个“M“形状的新图象，若直线y＝x+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，求b的值．

Answer

(1)9；(2)点Q的坐标为(2，1﹣2)或(2，1+2)或(2，﹣)或(2，﹣7)；(3)b＝﹣3或﹣．

【解析】

(1)求出B、C的坐标，将点B、C的坐标分别代入抛物线表达式，即可求解；

(2)分CP＝PQ、CP＝CQ、CQ＝PQ，分别求解即可；

(3)分两种情况，分别求解即可．

【解析】
(1)直线y＝x﹣3，令y＝0，则x＝3，令x＝0，则y＝﹣3，

故点B、C的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)，

将点B、C的坐标分别代入抛物线表达式得：，解得： ，

则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x﹣3，则点A坐标为(1，0)，顶点P的坐标为(2，1)，

3m+n＝12﹣3＝9；

(2) ①当CP＝CQ时，

C点纵坐标为PQ中点的纵坐标相同为﹣3，

故此时Q点坐标为(2，﹣7)；

②当CP＝PQ时，

∵PC=，

∴点Q的坐标为(2，1﹣)或(2，1+)；

③当CQ＝PQ时，

过该中点与CP垂直的直线方程为：y＝﹣x﹣，

当x＝2时，y＝﹣，即点Q的坐标为(2，﹣)；

故：点Q的坐标为(2，1﹣2)或(2，1+2)或(2，﹣)或(2，﹣7)；

(3)图象翻折后的点P对应点P′的坐标为(2，﹣1)，

①在如图所示的位置时，直线y＝x+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，

此时C、P′、B三点共线，b＝﹣3；

②当直线y＝x+b与翻折后的图象只有一个交点时，

此时，直线y＝x+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点；

即：x2﹣4x+3＝x+b，△＝52﹣4(3﹣b)＝0，解得：b＝﹣．

即：b＝﹣3或﹣．