Question

如图，二次函数的图象交x轴于A、B两点其中点A在点B的左侧，交y轴正半轴于点C，且，点D在该函数的第一象限内的图象上．

求点A、点B的坐标；

若的最大面积为平方单位，求点D的坐标及二次函数的关系式；

若点D为该函数图象的顶点，且是直角三角形，求此二次函数的关系式．

Answer

（1）、；（2）；（3）二次函数表达式为：或．

【解析】

(1)函数的对称轴为：，，即可求解；
(2)由，即可求解；
(3)分两种情况，求解即可．

【解析】
函数的对称轴为：，，

点A、B的坐标为、；

二次函数表达式为：，即：，

把点B、C坐标代入一次函数表达式得：，

则一次函数表达式为：，

过点D作x轴的平行线交BC于E点，

设点D的坐标为，则点E的坐标为，

，

，故有最大值，

当时，最大值为，

解得：，

点D的坐标为，

故：二次函数表达式为：；

点B、C、D的坐标分别为、，

则直线CD所在直线表达式中的k值为：，

同理，，

当时，

由两直线垂直k值互为负倒数得：，解得：正值已舍去，

当时，同理解得：，

故：二次函数表达式为：或．