Question

如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，∠BCD＝135°，且AB＝3cm，BC＝7cm，CD＝5cm，点M从点A出发沿折线A﹣B﹣C﹣D运动到点D，且在AB上运动的速度为cm/s，在BC上运动的速度为1cm/s，在CD上运动的速度为cm/s，连接AM、DM，当点M运动时间为_____（s）时，△ADM是直角三角形．

Answer

12﹣ 或 ．

【解析】

过点D作DE⊥BC，根据∠BCD＝135°，得∠ECD＝45°，在Rt△CDE中，由CD＝5cm，可得出CE＝DE＝5cm，再根据当点M在AB上时，△ADM是钝角三角形；当点M在BC上时，△ADM有可能是直角三角形；当点M在CD上时，△ADM是钝角三角形；分两种情形分别求解即可．

【解析】
过点D作DE⊥BC，垂足为E，

∵∠BCD＝135°，

∴∠ECD＝45°，

在Rt△CDE中，∵CD＝5cm，

∴由勾股定理得CE＝DE＝5cm，

∴当点M在AB上时，△ADM是钝角三角形；

当点M在CD上时，△ADM是钝角三角形；

当点M在BC上时，△ADM有可能是直角三角形；

①当∠AMD＝90°时，∵∠B＝90°，

∴∠BAM+∠AMB＝90°，

∵∠AMD＝90°，

∴∠AMB+∠DME＝90°，

∴∠MAB＝∠DME，

∴△ABM∽△MED，

∴ ，

∵在AB上运动的速度为 cm/s，在BC上运动的速度为1cm/s，

∴设运动时间为t，

∵AB＝3cm，BC＝7cm，

∴BM＝（t﹣6）cm，

∴ME＝MC+EC＝7﹣（t﹣6）+5＝（18﹣t）cm，

∴ ，

解得t＝12 （舍去正号）

∴t＝12﹣ ．

②当∠MAD＝90°时，作AH⊥DE于H．

由△BAM∽△HAD，可得，

∴ ＝ ，

∴BM＝ ，

∴t-6＝ ，解得t= ,

综上所述，t＝12﹣ 或时，△ADM是直角三角形．

故答案为：12﹣ 或 ．