Question

如图，对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝x²+bx+c与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）．

（1）求点B的坐标；

（2）求二次函数的解析式；

（3）已知C为抛物线与y轴的交点，设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．

Answer

（1）点B的坐标为（1，0）；（2）二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3；（3）当x＝﹣时，QD有最大值

【解析】

（1）利用抛物线的对称性求出点B的坐标；

（2）利用待定系数法求出抛物线解析式；

（3）先求出直线AC的解析式，进而设出点Q的坐标，进而表示出D的坐标，得出QD＝﹣x2﹣3x（﹣3≤x≤0），即可得出结论．

（1）∵对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，

∴A、B两点关于直线x＝﹣1对称，

∵点A的坐标为（﹣3，0），

∴点B的坐标为（1，0）；

（2）∵抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，

∴﹣＝﹣1，解得b＝2，

将B（1，0）代入y＝x2+2x+c，

得1+2+c＝0，解得c＝﹣3，

则二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3；

（3）设直线AC的解析式为y＝kx+t，将A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入

得 ，

∴ ，

即直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3；

设Q点坐标为（x，﹣x﹣3）（﹣3≤x≤0），

则D点坐标为（x，x2+2x﹣3），

QD＝（﹣x﹣3）﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x2﹣3x＝﹣（x+）2+，

∴当x＝﹣时，QD有最大值．