Question

如图，△ABC为圆O的内接三角形，BD为⊙O的直径，AB＝AC，AD交BC于E，AE＝2，ED＝4．

（1）求证：△ABE∽△ADB，并求AB的长；

（2）延长DB到F，使BF＝BO，连接FA，那么直线FA与⊙O相切吗？为什么？

Answer

（1）见解析，AB＝2；（2）直线FA与⊙O相切，见解析.

【解析】

（1）根据等腰三角形的性质和圆周角定理可得∠ABC＝∠D，由∠BAE＝∠DAB故△ABE∽△ADB，进而可得 ；代入数据即可得求解．

（2）连接OA，根据勾股定理可得BF＝BO＝AB；易得∠OAF＝90°，可得直线FA与⊙O相切．

（1）证明：∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠C．

∵∠C＝∠D，

∴∠ABC＝∠D．

又∵∠BAE＝∠DAB，

∴△ABE∽△ADB，

∴ ，

∴AB2＝AD•AE＝（AE+ED）•AE＝（2+4）×2＝12，

∴AB＝2；

（2）【解析】
直线FA与⊙O相切．

理由如下：

连接OA，

∵BD为⊙O的直径，

∴∠BAD＝90°，

∴BD＝，

∴BF＝BO＝．

∵AB＝2，

∴BF＝BO＝AB，

∴∠OAF＝90°．

∴直线FA与⊙O相切．

故答案为：（1）见解析，AB＝2；（2）直线FA与⊙O相切，见解析.