Question

如图，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OA＝7，AB＝4，∠COA＝60°，点P为x轴上的一个动点，但是点P不与点0、点A重合．连接CP，D点是线段AB上一点，连接PD．

（1）求点B的坐标；

（2）当∠CPD＝∠OAB，且，求这时点P的坐标．

Answer

(1) 点B的坐标为（5，）;(2) 点P坐标为（1，0）或（6，0）.

【解析】

（1）依题意可得∠BAQ＝∠COA，已知AB＝4，∠COA度数利用三角函数可求出BQ，AQ，OQ的值．

（2）利用相似三角形的判定证明△OCP∽△APD，根据等比性质可求出AP，OP的值．

【解析】
（1）作BQ⊥x轴于Q．

∵四边形OABC是等腰梯形，

∴∠BAQ＝∠COA＝60°

在Rt△BQA中，BA＝4，

BQ＝AB•sin∠BAO＝4×sin60°＝

AQ＝AB•cos∠BAO＝4×cos60°＝2，

∴OQ＝OA﹣AQ＝7﹣2＝5

点B在第一象限内，∴点B的坐标为（5， ）；

（2）∵∠CPA＝∠OCP+∠COP，

即∠CPD+∠DPA＝∠COP+∠OCP，

而∠CPD＝∠OAB＝∠COP＝60°，

∴∠OCP＝∠APD．

∵∠COP＝∠PAD，

∴△OCP∽△APD．

∴ ．

∴OP•AP＝OC•AD．

∵ ，且AB＝4，

∴BD＝ AB＝ ，

AD＝AB﹣BD＝4﹣ ＝ ．

∵AP＝OA﹣OP＝7﹣OP，

∴OP（7﹣OP）＝4×，

解得：OP＝1或6．

∴点P坐标为（1，0）或（6，0）．

故答案为：(1) 点B的坐标为（5，）;(2) 点P坐标为（1，0）或（6，0）.