Question

如图，在等边△ABC中，点D、点E分别在AB、AC上，BD=AE，连接BE、CD交于点P，作EH⊥CD于H．

（1）求证：△CAD≌△BCE；（2）求证：PE=2PH；（3）若PB=PH，求∠ACD的度数．

Answer

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）45°

【解析】

（1）根据SAS证明△CAD≌△BCE即可；

（2）利用直角三角形30度角的性质即可解决问题；

（3）连接AH、BH，过H点作HM⊥AB于M，HN⊥AC于N．利用全等三角形的性质证明△EHC是等腰直角三角形即可解决问题；

（1）证明：如图1中，

∵△ACB是等边三角形，

∴∠A=∠BCA=∠ABC=60°，AB=AC=BC，

∵BD=AE，

∴AB-BD=AC-AE，

即AD=EC，

在△CAD与△BCE中，

，

∴△CAD≌△BCE（SAS）．

（2）证明：如图2中，

由（1）得△CAD≌△BCE，

∴∠1=∠2，

∵∠1+∠3=60°，

∴∠2+∠3=60°，

∴∠4=∠2+∠3=60°，

又∵EH⊥CD，

∴∠PHE=90°即△PHE是直角三角形，

∵∠5=90°-∠4=30°，

∴PH=PE．

即PE=2PH．

（3）【解析】
连接AH、BH，过H点作HM⊥AB于M，HN⊥AC于N．

∵PB=PH，

∠1=∠2，

由（2）得，∠4=30°，

∠3=∠1+∠2=60°，

∴∠1=∠2=30°，

∴∠BHE=120°，

∴∠1=∠4，

∴BH=EH，

∵∠BAC=60°，

∴∠ABH+∠AEH=360°-∠BAC+∠BHE=180°，

∵∠HEC+∠AEH=180°，

∠ABH=∠HEC，

∴∠BMH=∠ENH=90°，

∴△BHM≌△EHN（AAS），

∴HM=HN，

∴∠5=∠6，

∵AH=AH，AB=AC，

∴△AHB≌△AHC（SAS0，

∴HB=HC=HE且∠EHC=90°．

∴∠ACD=45°．