Question

如图，在平面直角坐标系中，点B（a，b）是第一象限内一点，且a、b满足等式a²-6a+9+|b-1|=0．

（1）求点B的坐标；

（2）如图，动点C以每秒1个单位长度的速度从O点出发，沿x轴的正半轴方向运动，同时动点A以每秒2个单位长度的速度从O点出发，沿y轴的正半轴方向运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，△ABC是AB为斜边的等腰直角三角形；

（3）如图，在（2）的条件下，作∠ABC的平分线BD，设BD的长为m，△ADB的面积为S．请用含m的式子表示S．

Answer

（1）B（3，1）；（2）当t=1时，△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形；（3）

【解析】

（1）根据非负性得出a，b的值，进而解答即可；

（2）过B作BH⊥x轴于H，根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；

（3）过点A作AF⊥DB，交BD延长线于F，AF延长线交BC的延长线于点E．根据全等三角形的判定和性质解答即可．

【解析】
（1）∵a2-6a+9+|b-1|=0，

∴（a-3）2+|b-1|=0

且（a-3）2≥0，|b-1|≥0

∴a-3=0；b-1=0

∴a=3；b=1

∴B（3，1）；

（2）过B作BH⊥x轴于H

∵B（3，1），

∴BH=1

由题意得OA=2t，OC=t

∵△ACB是以AB斜边的等腰直角三角形

∴AC=BC，

∠ACB=90°

∴∠1+∠2=90°

∵BH⊥x轴，

∴∠OHB=90°

∴∠1+∠3=90°

∴∠2=∠3

∴∠AOC=∠CHB=90°

在△AOC与△CHB中

，

∴△AOC≌△CHB（AAS）

∴OC=BH

∴t=1，

∴当t=1时，△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形；

（3）过点A作AF⊥DB，交BD延长线于F，AF延长线交BC的延长线于点E．

∵∠AFB=∠ACB=90°

∴∠1+∠E=90°

∠2+∠E=90°

∴∠2=∠1

在△DCB与△ECA中

，

∴△DCB≌△ECA （ASA）

∴AE=DB=m

在△BFA与△BFE中

，

∴△BFA≌△BFE （ASA）

∴AF=EF=

∴．