Question

如图，已知抛物线经过点，，．

求抛物线的函数表达式；

求抛物线的顶点坐标；

如图1，点D是抛物线上一动点，过D作y轴的平行线DE交直线AB于点E，当线段时，请直接写出D点的横坐标；

如图2，当D为直线AB上方抛物线上一动点时，于F，设AC的中点为M，连接BD，BM，是否存在点D，使得中有一个角与相等？若存在，请直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）；（2）；（3）点的横坐标为或或或；（4）存在，D点的横坐标为或．

【解析】

设交点式，然后把B点坐标代入求出a得到抛物线解析式，然后把解析式

把一般式化为顶点式得到抛物线的顶点坐标；

易得直线AB的解析式为，设，则，利用题意得到，然后解绝对值方程即可；

若，则，作轴于B，作于H，于G，如图，证明，再计算出，则，设，所以，然后解t的方程得到此时D点的横坐标若，作轴于抛物线交于另一点，作轴交BD于G，如图3，则，，同理得，则，所以，接着求出直线BG的解析式为，然后解方程组得D点坐标．

【解析】
设抛物线解析式为，

把代入得，解得，

抛物线解析式为，即；

，

抛物线的顶点坐标为；

易得直线AB的解析式为，

设，则

，

解方程得，；

解方程得，，

点的横坐标为或或或；

存在．

抛物线的对称轴为直线，则，

若，则，

作轴于B，作于H，于G，如图2，

，

为等腰直角三角形，

，，

，

，

在中，，

，

在中，，

在中，，

，

设，

整理得，解得舍去，，

点坐标为，

若，作轴于抛物线交于另一点，作轴交BD于G，如图3，则，，

同理得，

，

，

，

易得直线BG的解析式为，

解方程组得或，

点坐标为，

综上所述，D点的横坐标为或．