Question

如图，在边长为8的等边三角形ABC中，点D沿射线AB方向由A向B运动，点F同时从C出发，以相同的速度每秒1个单位长度沿射线BC方向运动，过点D作DE⊥AC，连结DF交射线AC于点G．

（1）当DF⊥AB时，求AD的长；

（2）求证：EG＝AC．

（3）点D从A出发，经过几秒，CG＝1.6？直接写出你的结论．

Answer

（1）；（2）详见解析；（3）t＝4.8s或11.2s时，CG＝1.6．

【解析】

（1）设AD=x，根据直角三角形的性质列出方程，解方程即可；
（2）过点D作DH∥BC，交AC于点H，则∠HDG=∠F，先判定△ADH是等边三角形，再根据等量代换得到DH=FC，进而判定△DHG≌△FCG（AAS），得到HG=CG，再根据△ADH为等边三角形，DE⊥AH，得出AE=EH，最后得出AC=AH+CH=2EH+2HG=2EG；
（3）分两种情形解答即可；

【解析】
（1）设AD＝x，则CF＝x，BD＝8﹣x，BF＝8+x，

∵DF⊥AB，∠B＝60°，

∴BD＝BF，即8﹣x＝（8+x），

解得，x＝，即AD＝；

（2）如图所示，过点D作DH∥BC，交AC于点H，则∠HDG＝∠F，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ADH＝∠AHD＝∠A＝60°，

∴△ADH是等边三角形，

∴AD＝DH，

又∵点D与F的运动速度相同，

∴AD＝CF，

∴DH＝FC，

在△DHG和△FCG中，

，

∴△DHG≌△FCG（AAS），

∴HG＝CG，

∵△ADH为等边三角形，DE⊥AH，

∴AE＝EH，

∴AC＝AH+CH＝2EH+2HG＝2EG，

∴EG＝AC．

（3）由（2）可知CG＝GH＝1.6，

∴AD＝AH＝8﹣3.2＝4.8或AD＝AH＝8+3.2＝11.2，

∴t＝4.8s或11.2s时，CG＝1.6．