Question

如图，在平面直角坐标系中，一次函数y₁＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y₂＝（k≠0）的图象交于A、C两点，与x轴交于点D，过点A作AB⊥x轴于点B，点O是线BD的中点，AD＝2，cos∠ADB＝．

（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；

（2）直接写出当x为何值时，y₁≥y₂．

Answer

（1）y2＝，一次函数解析式为y1＝2x+2；（2）当﹣2≤x＜0或x≥1时，y1≥y2．

【解析】

（1）先解Rt△ABD，根据余弦函数的概念求出BD，根据勾股定理求出AB，再利用待定系数法求出反比例函数和一次函数的解析式；

（2）先联立反比例函数和一次函数的解析式，得到方程组，求出C点坐标，再观察图象，得到y1≥y2时x的取值范围．

【解析】
（1）∵在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，AD＝2，cos∠ADB＝，

∴BD＝AD•cos∠ADB＝2×＝2，

由勾股定理得，AB＝＝＝4，

∵点O是线段BD的中点，

∴点A的坐标为（1，4），点D的坐标为（﹣1，0）．

把A（1，4）代入y2＝，得反比例函数的解析式为：y2＝．

把A（1，4），D（﹣1，0）代入y1＝ax+b，

得，解得，

∴一次函数解析式为y1＝2x+2；

（2）由，解得，或，

∴C（﹣2，﹣2）．

由图象可知，当﹣2≤x＜0或x≥1时，一次函数y1＝ax+b（a≠0）的图象在反比例函数y2＝（k≠0）图象的上方，

∴当﹣2≤x＜0或x≥1时，y1≥y2．