Question

如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝与x轴交于A，B两点，交y轴于点C，连接BC．过点A作BC的平行线交抛物线于点D．

（1）求△ABC的面积；

（2）已知点M是抛物线的顶点，在直线AD上有一动点E，x轴上有一动点F，当ME+BE最小时，求|CF﹣EF|的最大值及此时点F的坐标；

（3）如图2，在y轴正半轴上取点Q，使得CB＝CQ，点P是x轴上一动点，连接PC，将△CPQ沿PC折叠至△CPQ′.连接BQ，BQ′，QQ′，当△BQQ′为等腰三角形时，直接写出点P的坐标.

Answer

（1）S△ABC＝6；（2）|CF﹣EF|的最大值为2，点F的坐标为（﹣3，0）；（3）点P的坐标为（3﹣6，0），（﹣3，0）或（，0）．

【解析】

（1）分别将x＝0和y＝0代入解析式即可求出A，B，C三点的坐标，即可求出△ABC的面积；

（2）先证△ABC是直角三角形，再作点B关于直线AD的对称点B'，连接MB'，交AD于E，则此时ME+BE有最小值，作点E关于x轴的对称点E'，连接CE'并延长CE'交x轴于F，则此时|CF﹣EF|有最大值，为CE'的长度，根据点的坐标求出CE'的长度，此时点F与点B重合，即知点F坐标；

（3）分三种情况通过等边三角形，直角三角形的性质及勾股定理求出点P的坐标．

【解析】
（1）在抛物线y＝中，

当y＝0时，x1＝﹣3，x2＝，

∴A（，0），B（﹣3，0），

当x＝0时，y＝﹣3，

∴C（0，﹣3），

连接AC，

∴S△ABC＝AB•OC＝6；

（2）在Rt△ABC中，

AC＝＝2，

BC＝＝6，

AB＝4，

∴AC2+BC2＝AB2，

∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，

∴tan∠ABC＝，

∴∠ABC＝30°，

如图，作点B关于直线AD的对称点B'，连接MB'，交AD于E，则此时ME+BE有最小值，

且∠CBB'＝90°，∠ABB'＝60°，

连接AB'，则AB＝AB'，

∴△ABB'为等边三角形，

∴BB'＝AB'，

∴点B'在AB的垂直平分线上，

又∵M为抛物线顶点，

∴点M，B'同为抛物线对称轴上的点，

∵抛物线对称轴为x＝＝﹣，

∴xE＝﹣，

将C（0，﹣3），B（﹣3，0）代入一次函数解析式，

得，

解得k＝﹣，b＝﹣3，

∴yBC＝﹣x﹣3，

∵BC∥AD，

∴设yAD＝﹣x+b，

将A（，0）代入，

得b＝﹣1，

∴yAD＝﹣x﹣1，

当xE＝﹣时，yE＝2，

∴E（﹣，2），

作点E关于x轴的对称点E'（﹣，﹣2），

连接CE'并延长CE'交x轴于F，则此时|CF﹣EF|有最大值，为CE'的长度，

CE'＝＝2，

理由如下：

在x轴上F外任取一点F'，连接F'E'，CF'，

在△CE'F'中，都有|CF'﹣EE'|＜CE'，

∴当CE'F在一条直线上时，|CF﹣EF|有最大值，

将C（0，﹣3）E'（﹣，﹣2）代入一次函数解析式，

得，

解得k＝﹣，b＝﹣3，

∴yCE'＝﹣x﹣3，

∴直线CE'与直线CB重合，

∴点F与点B重合，

∴点F的坐标为（﹣3，0），

∴|CF﹣EF|的最大值为2

CE'＝＝2；此时点F的坐标为（﹣3，0）；

（3）①如图2﹣1，当Q'B＝Q'Q时，

由（1）知∠ABC＝30°，

∴∠BCA＝60°，

∵CB＝CQ，

∴△CBQ为等边三角形，

∴CQ＝BC＝6，

又∵BQ'＝QQ'，

∴∠BCQ'＝∠QCQ’＝30°，∠CBQ'＝∠CQ'B＝∠CQ'Q＝∠CQQ'＝75°，

∴∠Q'CP＝∠QCP＝∠PQ'C＝∠PQC＝15°，

∴∠Q'PQ＝60°，

∴△QQ'P是等边三角形，△BQ'P是等腰直角三角形，

设PQ＝a，

则QQ'＝Q'P＝Q'B＝a，

∴BP＝a，

在Rt△QPO中，QP2＝OP2＝OQ2，

∴a2+（3﹣a）2+32，

解得a1＝3+3（舍去），a2＝3﹣3，

∴BP＝a＝6﹣6，

∴OP＝6﹣3，

∴P（3﹣6，0）；

②如图2﹣2，当BQ＝BQ'时，点P与点B重合，

∴P（﹣3，0）；

③如图2﹣3，当QB＝QQ'时，点P与点A重合，

∴P（﹣，0）．

综上所述，当△BQQ′为等腰三角形时，点P的坐标为（3﹣6，0），（﹣3，0）或（，0）．