Question

如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，与y轴交于点，与x轴交于点C．

求直线的函数表达式；

求的面积；

在平面直角坐标系中有一点，使得，请求出点P的坐标；

点M为直线上的动点，过点M作y轴的平行线，交于点N，点Q为y轴上一动点，且为等腰直角三角形，请直接写出满足条件的点M的坐标．

Answer

（1）y=-2x+6；（2）3；（3）(5,2)或(5,8)；（4）或或(6,-6) 或(3,0).

【解析】

先求点A坐标，再用待定系数法求函数解析式．

求点C坐标，以OC为底，点A到x轴距离为高计算．

观察面积相等两个三角形，有公共边OA，故可看作是以OA为底，高相等所以点P在与OA平行的直线上，且到直线OA距离等于点C到OA距离其中一条即为过点C的直线，根据平移，另一条经过点C关于A的对称点求出直线后，把代入即求出点P坐标．

由于直角不确定，需分类讨论，得到MN与M的横坐标的关系列得方程求解即可．

【解析】
点在直线：上，

，即，

直线：过点、点，

  解得：，

直线直线的函数表达式为：；

令，解得：，

点即，

，

，

当以AO为底边时，两三角形等高，

过点P且与直线AO平行的直线为：，

直线过点，得为：，

当时，，

点，

点关于点的对称点为，

直线过点，得为：，

当时，，

点

综上所述，点P坐标为或

设，则，

，

如图1，若，，

则有，

，

或，

或，

如图2，图3，若或，

则，

，

或，

或

综上所述，点M的坐标为或或或．