Question

如图，在中，，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使，连接FB，FC．

求证：四边形ABFC是菱形；

若，，求半圆和菱形ABFC的面积．

只用一把无刻度的直尺，作出菱形AB上的高CH．

Answer

（1）证明见解析；（2）．（3）见解析.

【解析】

（1）先根据等腰三角形三线合一得出CE=BE，再根据对角线相互平分的四边形是平行四边形，证明是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；
（2）设CD=x，连接BD．利用勾股定理构建方程即可解决问题；
（3）如图，设BD交AE于K，作直线CK交AB于H．根据三角形的高相交于一点可得线段CH即为所求．

证明：是直径，

，

，

，

，

，

四边形ABFC是平行四边形，

，

四边形ABFC是菱形．

设连接BD．

是直径，

，

，

，

解得或舍弃

，，

．

．

如图，设BD交AE于K，作直线CK交AB于

是直径，

，

三角形的高相交于一点

线段CH即为所求．