Question

如图，半圆O的直径，在中，，，，半圆O以的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E始终在直线BC上，设运动时间为，当时，半圆O在的左侧，．

如图1当时，圆心O到AB所在直线的距离是______cm．

当t为何值时，的边AB所在的直线与半圆O所在圆相切？求时间t．

如图2，线段AB的中点为F，求圆心O与B、F两点构成以BF为腰的等腰三角形时运动的时间t．

在图2的基础上，建立如图所示的平面直角坐标系，四边形ACBG是矩形，如图3，半圆O向右运动的同时矩形也向右运动，速度为，问经过多长时间O、F、G在同一条直线上，求时间并求出此时DG的直线解析式．

Answer

（1）9；（2）当或32s时，AB与半圆O所在的圆相切；（3）满足条件的t的值为，，；（4）．

【解析】

（1）当t=2时，点E与点C重合，如图1中，作OH⊥AB于H．解直角三角形求出OH即可；
（2）分两种情形①如图2中，过C点作CF⊥AB，交AB于F点；②当点O运动到B点的右侧，且OB=12cm时，如图3中，过点O作OQ⊥直线AB，垂足为Q．分别求解即可；
（3）①当点O与C重合时，△BOF是等腰三角形，此时t=8；②当BF=BO时，在Rt△ABC中，，推出BO′=4或BO″=4时，△OBF是等腰三角形，由此即可解决问题；
（4）t秒后，G（12+0.5t，4），F（6+0.5t，2），O（-8+t，0），当O、F、G共线时，点F是O、G的中点，则有=6+0.5t，求出t即可解决问题；

【解析】
如图1中，作于H．

当时，点E与点C重合，，

在中，，，

．

故答案为9．

如图2中，过C点作，交AB于F点；

，，

；

当半圆O与的边AB相切时，

又圆心O到AB的距离等于6cm，

且圆心O又在直线BC上，

与C重合，

即当O点运动到C点时，半圆O与的边AB相切；

此时点O运动了8cm，所求运动时间为，

当点O运动到B点的右侧，且时，如图3中，过点O作直线AB，垂足为Q．

在中，，则，

即OQ与半圆O所在的圆相切此时点O运动了32cm．

所求运动时间为：，

综上可知当或32s时，AB与半圆O所在的圆相切；

如图4中，

当点O与C重合时，是等腰三角形，此时；

当时，在中，，

或时，是等腰三角形，

此时或

综上所述，满足条件的t的值为，，；

秒后，，，，

当O、F、G共线时，点F是O、G的中点，

则有，

解得，

此时，，

设直线DG的解析式为，

则，解得

．