Question

将边长为4的等边△ABC的边BC向两端延长，使∠MAN＝120°．

（1）求证：△MAB∽△ANC；

（2）若CN＝4MB，求线段CN的长．

Answer

(1)见解析;(2) CN＝8

【解析】

（1）依据∠AMB+∠ANC＝60°，∠AMB+∠MAB＝∠ABC＝60°，可得∠MAB＝∠ANC，∠AMB＝∠NAC，即可得到△MAB∽△ANC；

（2）由（1）得，再根据AB＝BC＝AC＝4，CN＝4MB，即可得到，进而得出MB＝2，CN＝8．

【解析】
（1）∵∠M+∠MAN+∠N＝180°，∠MAN＝120°，

∴∠AMB+∠ANC＝60°，

又∵∠AMB+∠MAB＝∠ABC＝60°，

∴∠MAB＝∠ANC，

同理∠AMB＝∠NAC，

∴△MAB∽△ANC；

（2）由（1）得，

∵AB＝BC＝AC＝4，CN＝4MB，

∴，

∴MB＝2，

∴CN＝8．