Question

已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴的两个交点横坐标分别是1和2．

(1)当a=﹣1时，求这个二次函数的表达式；

(2)设A（n，y₁）、B（n+1，y₂）、C（n+2，y₃）在y=ax²+bx+c的图象上，其中n为正整数．

①求出所有满足条件y₂=3y₁的n；

②设a＞0，n≥5，求证：以y₁、y₂、y₃为三条线段的长可以构成一个三角形．

Answer

(1)y=﹣x2+3x﹣2；(2)①n=1或n=3；②当n≥5时，y1、y2、y3为边长可以构成一个三角形．

【解析】

(1)由图象与x轴的两个交点横坐标，可以设两根式就解析式；

（2）①分别把点A、B、C的坐标代入解析式y=ax2+bx+c即可解答；

②根据三角形三边关系进行判断.

【解析】

（1）∵二次函数与x轴两交点横坐标是1和2，

∴可设该二次函数表达式为y=a（x﹣1）（x﹣2），

又∵a=﹣1，

∴y=﹣x2+3x﹣2；

（2）①∵A（n，y1）、B（n+1，y2）、C（n+2，y3）在y=ax2+bx+c的图象上，

∴y1=a（n﹣1）（n﹣2），y2=an（n﹣1），

∵y2=3y1，

∴an（n﹣1）=3 a（n﹣1）（n﹣2），

由a≠0，解得n=1或n=3；

②∵y1=a（n﹣1）（n﹣2），y2=an（n﹣1），y3=an（n+1），

∵a＞0，n≥5，

∴抛物线开口向上，A、B、C三点在抛物线对称轴右侧，

∴y3＞y2＞y1＞0，

∴y1+y2﹣y3=a（n﹣1）（n﹣2）+an（n﹣1）﹣an（n+1），

=a（n2﹣5n+2）=a[n（n﹣5）+2]＞0，

∵较小两条线段长的和大于第三条线段长，

∴当n≥5时，y1、y2、y3为边长可以构成一个三角形．