Question

两个含30°角的直角三角形ABC和直角三角形BED如图那样拼接，C、B、D在同一直线上，AC＝BD，∠ABC＝∠E＝30°，∠ACB＝∠BDE＝90°，M为线段CB上一个动点（不与C、B重合）．过M作MN⊥AM，交直线BE于N，过N作NH⊥BD于H．

（1）当M在什么位置时，△AMC∽△NBH？

（2）设AC＝．

①若CM＝2，求BH的长；

②当M沿线段CB运动时，连接AN（图中未连），求△AMN面积的取值范围．

Answer

（1）见解析；（2）①BH＝2；②

【解析】

（1）先确定△AMC和△NBH都是直角三角形，再根据垂直平行可得：∠BNH＝30°，由相似三角形的对应关系，可得：当∠CAM＝30°时，可得：△AMC∽△NBH，从而确定M的位置；

（2）①设BH＝x，则HN＝，MH＝1+x，证明△ACM∽△MHN，则，即，可得BH的长；

②由题得AC＝BD＝，BC＝ED＝3，∠NBH＝60°，设CM＝x（0＜x＜3），BH＝t，则HN＝t，MB＝3﹣x，从而MH＝3﹣x+t，同理△ACM∽△MHN得列方程可得：BH＝x，分别表示AM和MN的长，利用三角形面积公式可得S△AMN＝＝，由x的取值范围可得结论．

【解析】
（1）由题知，NH⊥BD，ED⊥BD，

∴∠BNH＝30°，又△AMC与△NBH都是直角三角形，

∴当∠CAM＝30°，即当M位于∠CAB的平分线上时，△AMC∽△NBH；

（2）①Rt△ACB中，∵AC＝，CM＝2，∠CAB＝60°，

∴CB＝3，MB＝1，

设BH＝x，

∵∠EBD＝60°，

∴HN＝x，MH＝1+x，

∵MN⊥AM，

∴∠AMC+∠NMH＝90°，又∠AMC+∠CAM＝90°，

∴∠CAM＝∠HMN，

∵∠ACM＝∠MHN＝90°，

∴△ACM∽△MHN

∴，即，x＝2，即BH＝2

②由题得AC＝BD＝，BC＝ED＝3，∠NBH＝60°，

∴tan30°＝＝，

设CM＝x（0＜x＜3），BH＝t，则HN＝t，MB＝3﹣x，

从而MH＝3﹣x+t，

由△ACM∽△MHN得，

（3﹣x）（t﹣x）＝0，x＜3，

∴t＝x，即有BH＝x，

MH＝MB+BH＝3﹣x+x＝3，

AM＝，MN＝，

S△AMN＝

＝，

∴