Question

如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，AE、CD交于点F，且∠DBF＝45°．

（1）若AF＝，BF＝，求AB的长；

（2）求证：AB﹣CF＝BF．

Answer

（1）AB＝3；（2）见解析.

【解析】

(1)由等腰直角三角形的性质和勾股定理可求DF＝BD＝1，由勾股定理可求AD＝2，即可求AB的长；

(2)由“AAS”可证△ADF≌△BCD，可得AD＝CD，即可证等式成立．

(1)∵∠DBF＝45°，CD⊥AB，

∴∠DFB＝∠DBF＝45°，

∵DF2+DB2＝BF2，且BF＝

∴DF＝BD＝1，

在Rt△ADF中，AD＝＝2，

∴AB＝AD+DB＝2+1＝3；

(2))∵∠DBF＝45°，CD⊥AB，

∴∠DFB＝∠DBF＝45°，

∴DF＝DB，

∴BF＝DF，

∵AE⊥BC，CD⊥AB，

∴∠ABC+∠EAB＝90°，∠ABC+∠DCB＝90°，

∴∠EAB＝∠DCB，且DF＝DB，∠ADF＝∠CDB＝90°，

∴△ADF≌△BCD(AAS)，

∴AD＝CD，

∵AB﹣CF＝AD+DB﹣CF＝DF+BD＝2DF＝BF