Question

如图，O是正△ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB＝150°；④S_{四边形AOBO′}＝6+3；其中正确的结论是(   )

A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②

Answer

A

【解析】

证明△BO′A≌△BOC，又∠OBO′＝60°，所以△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，故结论①正确；由△OBO′是等边三角形，可知结论②正确；在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，故△AOO′是直角三角形；进而求得∠AOB＝150°，故结论③正确；S四边形AOBO′＝S△AOO′＋S△OBO′＝×3×4＋ ＝6＋ ，故结论④错误．

【解析】
如图，

由题意可知，∠1＋∠2＝∠3＋∠2＝60°，

∴∠1＝∠3，

又∵OB＝O′B，AB＝BC，

∴△BO′A≌△BOC，

又∵∠OBO′＝60°，

∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，

故结论①正确；

如图，连接OO′，

∵OB＝O′B，且∠OBO′＝60°，

∴△OBO′是等边三角形，

∴OO′＝OB＝4．

故结论②正确；

∵△BO′A≌△BOC，

∴O′A＝5．

在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，

∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′＝90°，

∴∠AOB＝∠AOO′＋∠BOO′＝90°＋60°＝150°，

故结论③正确；

S四边形AOBO′＝S△AOO′＋S△OBO′＝×3×4＋ ＝6＋，

故结论④错误；

故选：A．