Question

综合与实践：制作无盖盒子

任务一：如图1，有一块矩形纸板，长是宽的2倍，要将其四角各剪去一个正方形，折成高为4cm，容积为616cm³的无盖长方体盒子(纸板厚度忽略不计)．

(1)请在图1的矩形纸板中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕．

(2)请求出这块矩形纸板的长和宽．

任务二：图2是一个高为4cm的无盖的五棱柱盒子(直棱柱)，图3是其底面，在五边形ABCDE中，BC＝12cm，AB＝DC＝6cm，∠ABC＝∠BCD＝120°，∠EAB＝∠EDC＝90°．

(1)试判断图3中AE与DE的数量关系，并加以证明．

(2)图2中的五棱柱盒子可按图4所示的示意图，将矩形纸板剪切折合而成，那么这个矩形纸板的长和宽至少各为多少cm？请直接写出结果(图中实线表示剪切线，虚线表示折痕．纸板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计)．

Answer

任务一：（1）作图见试题解析；（2）30，15；任务二（1）AE=DE；（2），．

【解析】

试题任务一：（1）按要求画出示意图即可；

（2）设矩形纸板的宽为xcm，则长为2xcm，根据题意列出方程，解出即可．

任务二：（1）AD=DE，延长EA、ED分别交直线BC于点M、N，先证明△MAB≌△NDC，得到AM=DN即可；

（2）如图4，由（1）得；AE=DE，∠EAD=∠EDA=30°，由已知得，AG=DF=4，连接AD，GF，过B，C分别作BM⊥AD于M，CN⊥AD于N，过E作EP⊥AD于P，则GF即为矩形纸板的长，MN=BC=12，AP=DP，得到∠BAM=∠CDN=60°，求出AM、DN、BM、CN的长，然后通过三角形相似即可得到结果．

试题解析：任务一：（1）如图1所示：

（2）设矩形纸板的宽为xcm，则长为2xcm，由题意得：4（x﹣2×4）（2x﹣2×4）=616，解得：，（舍去），∴2x=2×15=30，

答：矩形纸板的长为30cm，宽为15cm；

任务二：（1）AE=DE，证明如下：延长EA，ED分别交直线BC于M，N，∵∠ABC=∠BCD=120°，∴∠ABM=∠DCN=60°，∵∠EAB=∠EDC=90°，∴∠M=∠N=30°，∴EM=EN，在△MAB与△NDC中，∵∠M=∠N，∠ABM=∠DCN，AB=DC，∴△MAB≌△NDC，∴AM=DN，∴EM﹣AM=EN﹣DN，∴AE=DE；

（2）如图4，由（1）得；AE=DE，∠EAD=∠EDA=30°，由已知得，AG=DF=4，连接AD，GF，过B，C分别作BM⊥AD于M，CN⊥AD于N，过E作EP⊥AD于P，则GF即为矩形纸板的长，MN=BC=12，AP=DP，∴∠BAM=∠CDN=60°，∵AB=CD=6，∴AM=DN=3，BM=CN=，∴AP=AD=（3+3+12）=9，∴AE=，PE=，∵AD∥GF，∴△EAD∽△EGF，∴，∴GF=，∴矩形纸板的长至少为，矩形纸板的宽至少为PE+BM++4==．