Question

在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（x，|x﹣y|），则称点Q为点P的“关联点”．

（1）请直接写出点（2，2）的“关联点”的坐标；

（2）如果点P在函数y＝x﹣1的图象上，其“关联点”Q与点P重合，求点P的坐标；

（3）如果点M（m，n）的“关联点”N在函数y＝x²的图象上，当0≤m≤2时，求线段MN的最大值．

Answer

（1）（2，0）；（2）（2，1）；（3）当0≤m≤2时，线段MN的最大值为6．

【解析】

（1）根据“关联点”的定义结合点的坐标即可得出结论；

（2）根据点P在函数y＝x﹣1的图象上，即可得出P（x，x﹣1）、Q（x，1），再根据点P、Q重合即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；

（3）根据“关联点”的定义找出点N的坐标，分m≥n和m＜n两种情况考虑，根据点N在函数y＝x2的图象上，即可用含m的代数式表示出n，再根据两点间的距离公式即可找出MN的关系式，利用一次（二次）函数的性质即可求出线段MN的最大值．

【解析】
（1）∵|2﹣2|＝0，

∴点（2，2）的“关联点”的坐标为（2，0）．

（2）∵点P在函数y＝x﹣1的图象上，

∴P（x，x﹣1），则点Q的坐标为（x，1），

∵点Q与点P重合，

∴x﹣1＝1，解得：x＝2，

∴点P的坐标为（2，1）．

（3）∵点M（m，n），

∴点N（m，|m﹣n|）．

∵点N在函数y＝x2的图象上，

∴|m﹣n|＝m2．

（i）当m≥n时，m﹣n＝m2，

∴n＝﹣m2+m，

∴M（m，﹣m2+m），N（m，m2）．

∵0≤m≤2，

∴MN＝|yM﹣yN|＝|﹣m2+m﹣m2|＝m|2m﹣1|．

①当0≤m≤时，MN＝﹣2m2+m＝﹣2（m﹣）2+，

∴当m＝时，MN取最大值，最大值为．

②当＜m≤2时，MN＝2m2﹣m＝2（m﹣）2+，

当m＝2时，MN取最大值，最大值为6．

（ii）当m＜n时，n﹣m＝m2，

∴n＝m2+m，

∴M（m，m2+m），N（m，m2）．

∵0≤m≤2，

∴MN＝|yM﹣yN|＝|m2+m﹣m2|＝m，

当m＝2时，MN取最大值2．

综上所述：当0≤m≤2时，线段MN的最大值为6．