Question

如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB=2，以BC为边向外作正方形BCDE，动点M从A点出发，以每秒1个单位的速度沿着A—C—D的路线向D点匀速运动(M不与A、D重合)；过点M作直线l⊥AD，l与路线A—B—D相交于点N，设运动时间为t秒：

(1)当点M在AC上时，BN=_____.(用含t的代数式表示)

(2)过N作NF⊥ED，垂足为F，矩形MDFN与△ABD重叠部分的面积为S，求S的最大值

(3)当点M在CD上时(含点C)，是否存在点M，使△DEN为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由。

Answer

(1)；(2)当t=时，S取得最大值；(3)当t=4-或t=3或t=2时，△DEN是等腰三角形．

【解析】

（1）证明△ACB和△AMN是等腰直角三角形,利用等腰直角三角形的性质分别求出AB=, AN=,相减即可表示出BN,（2）分类讨论①当0≤t<2时，重叠部分是直角梯形, 其中NG=4-2t，DM =4-t，MN=t,表示出阴影部分面积S=•t•(4-2t+4-t)=，②当2≤t≤4时，重叠部分是三角形,分别求出DM= 4-t, MN= 4-t，表示出阴影部分的面积S==，即可,（3）分三种情况①DN=DE，②DN=NE，③DE=NE，列出等式解方程即可,见详解.

【解析】
(1)∵∠ACB=90°，AC=CB=2，

∴△ACB是等腰直角三角形,△AMN是等腰直角三角形,

∴AB=,

∵AM=t,

∴AN=,

∴BN=AB-AN=

(2)①当0≤t<2时，如图，

由题意知AM=MN=t，

则CM=NQ=AC-AM=2-t，

∴DM=CM+CD=4-t，

∵∠ABC=∠CBD=45°，∠NQB=∠GQB=90°，

∴NQ=BQ=QG=2-t，

则NG=4-2t，

∴S=•t•(4-2t+4-t)=，

当t=时，S取得最大值；

②当2≤t≤4时，如图，

∵AM=t，AD=AC+CD=4，

∴DM=AD-AM=4-t，

∵∠DMN=90°，∠CDB=45°，

∴MN=DM=4-t，

∴S==，

∵2≤t≤4，

∴当t=2时，S取得最大值2；

综上，当t=时，S取得最大值．

(3)如图，

∵AM=t，AC=BC=CD=2，∠BDC=∠DBE=45°，

∴DM=MN= PE =AD-AM=4-t，

∴DN=DM=(4-t)，

∴PN=2-(4-t)=t-2，

则NE=

∵DE=2，

∴①若DN=DE，则(4-t)=2，解得t=4-，

②若DN=NE，则(4-t)= ，解得t=3；

③若DE=NE，则2= ，解得t=2或t=4(点N与点E重合，舍去)；

综上，当t=4-或t=3或t=2时，△DEN是等腰三角形．