Question

如图1，点O在直线AB上，∠AOC＝30°，将一直角三角板的直角边OM与OA重合，ON在∠COB内部．现将三角板绕O沿顺时针方向以每秒2°的速度旋转，当ON与OB重合时停止转动．设运动时间为t(s)．

(1)若直角边ON将∠COB分成∠CON：∠BON＝3：2，求t的值；

(2)如图2，OG为三角板MON内部的射线，在旋转的过程中，OG始终平分∠MOB，请问∠AOM与∠NOG是否存在一定的数量关系？若存在，求出改数量关系；若不存在，请说明理由．

Answer

(1)15；(2)∠AOM＝2∠NOG，理由见解析.

【解析】

(1)根据补角的定义可得∠COB=150°，根据角平分线的定义可得∠CON=100°，所以∠AOM=30°，据此即可求出t的值；

(2)令∠NOG为β，∠AOM为γ，∠MOG=90°﹣β，根据∠AOM+∠MOG+∠BOG=180°即可得到∠AOM与∠NOG满足的数量关系．

(1)根据题意得∠COB=180°﹣∠AOC=180°﹣30°=150°，

∴当∠CON=∠COB=100°时，直角边ON将∠COB分成∠CON：∠BON=3：2，

∴∠AOM=30°，

∴2t=30，

解得t=15；

(2)∠AOM=2∠NOG，

令∠NOG为β，∠AOM为γ，∠MOG=90°﹣β，

∵∠AOM+∠MOG+∠BOG=180°，

∴γ+90°﹣β+90°﹣β=180°，

∴γ﹣2β=0，即γ=2β，

∴∠AOM=2∠NOG．