Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，的半径为1，A、B两点坐标分别为、已知点P是上的一点，点Q是线段AB上的一点，设的面积为S，当为直角三角形时，S的取值范围为______．

Answer

≤S≤．

【解析】

根据△OPQ为直角三角形时，∠OQP不可能为90°，所以分两种情况：分别以O和P为直角顶点，根据直径所对的圆周角为直角，通过画辅助圆确定P和Q，画图，根据直角三角形面积公式计算可得结论．

【解析】
①当P为直角顶点时，

当OQ最长时，如图1，OQ＝5，Q与A重合，PQ＝ ＝2 ，S大＝ ×1×2 ＝ ，

当OQ最短时，OQ＝3，此时OQ⊥AB，PQ＝ ＝2 ，S小＝ ＝ ；

②当O为直角顶点时，如图2，

当Q与A重合时，OA最大，此时S＝ ×1×5＝ ＞ ，

当OQ⊥AB时，S最小，S＝ ＝ ，

综上，当△OPQ为直角三角形时，S的取值范围为 ≤S≤.

故答案为： ≤ S ≤ ．