Question

小明在研究“利用木板余料裁出最大面积的矩形”时发现：如图1，是一块直角三角形形状的木板余料，以为内角裁一个矩形当DE，EF是中位线时，所裁矩形的面积最大若木板余料的形状改变，请你探究：

如图2，现有一块五边形的木板余料ABCDE，，，，，现从中裁出一个以为内角且面积最大的矩形，则该矩形的面积为______．

如图3，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量，，，且，从中裁出顶点M，N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，则该矩形的面积为______．

Answer

400， 486．

【解析】

（1）如图2中，延长AE交CD的延长线于F．则四边形ABCF是矩形，把问题转化为三角形内接矩形即可解决问题．

（2）构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．

【解析】
（1）如图2中，延长AE交CD的延长线于F．则四边形ABCF是矩形．

∴AF＝BC＝30cm，AB＝CF＝20cm，

∵AE＝20cm，CD＝10cm，

∴EF＝DF＝10cm，

∵∠F＝90°，

∴∠AEM＝∠FED＝∠FDE＝∠CDN＝45°，

∴AM＝AE＝20cm，CD＝CN＝10cm，

∴BM＝40cm，BN＝40cm，

∴△BMN的内接矩形的面积的最大值＝20×20＝400（cm2）．

（2）如图3中，

∵四边形MNPQ是矩形，tanB＝tanC＝ ，

∴可以假设QM＝PN＝4k，BM＝CN＝3k，

∴MN＝54﹣6 k，

∴S矩形MNPQ＝4k（54﹣6k）＝﹣24（k﹣ ）2+486，

∵﹣24＜0，

∴k＝ 时，矩形MNPQ的面积最大，最大值为486，

此时BQ＝PC＝5k＝ ，符合题意，

∴矩形MNPQ的面积的最大值为486cm2．

故答案为400，486．